试题

（2008·绵阳）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即tan2α=

2tanα

1-(tanα)2

（α≠45°）．根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．
（提示：在图丙中可设∠DAP=a）

解：（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设AE=CE=m，则BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，∴m=8.2．
∴重叠部分的面积y=

1

2

·CE·AB=

1

2

×8.2×8=32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′=

102-82

=6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5．
此时y=

1

2

·AD·DP=

1

2

×10×5=25（平方单位）．
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知y=S_△ADP=S_△ADP=

1

2

·AD·DP=5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP=α，则∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=

DP

AD

=

x

10

．
根据阅读材料，即tan2α=

2tanα

1-(tanα)2

，得出tan2α=

2· x 10

1-( x 10 )2

=

20x

100-x2

．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α=

8

20x 100-x2

=

2(100-x2)

5x

．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=

20x(8-x)

100-x2

．
∴S_△ABE=

1

2

·AB·BE=

1

2

×8×

2(100-x2)

5x

=

8(100-x2)

5x

．
S_△PCF=

1

2

·PC·CF=

1

2

（8-x）×

20x(8-x)

100-x2

=

10x(8-x)2

100-x2

．
而S_梯形ABCP=

1

2

（PC+AB）×BC=

1

2

（8-x+8）×10=80-5x．
故重叠部分的面积y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．
解：（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设AE=CE=m，则BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，∴m=8.2．
∴重叠部分的面积y=

1

2

·CE·AB=

1

2

×8.2×8=32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′=

102-82

=6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5．
此时y=

1

2

·AD·DP=

1

2

×10×5=25（平方单位）．
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知y=S_△ADP=S_△ADP=

1

2

·AD·DP=5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP=α，则∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=

DP

AD

=

x

10

．
根据阅读材料，即tan2α=

2tanα

1-(tanα)2

，得出tan2α=

2· x 10

1-( x 10 )2

=

20x

100-x2

．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α=

8

20x 100-x2

=

2(100-x2)

5x

．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=

20x(8-x)

100-x2

．
∴S_△ABE=

1

2

·AB·BE=

1

2

×8×

2(100-x2)

5x

=

8(100-x2)

5x

．
S_△PCF=

1

2

·PC·CF=

1

2

（8-x）×

20x(8-x)

100-x2

=

10x(8-x)2

100-x2

．
而S_梯形ABCP=

1

2

（PC+AB）×BC=

1

2

（8-x+8）×10=80-5x．
故重叠部分的面积y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x-

8(100-x2)

5x

-

10x(8-x)2

100-x2

．