试题

题目：
青果学院（2008·濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
（1）求证：AB=AC；
（2）当
AB
BC
=
5
4
时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=
20
11
，求AC的值．
答案
（1）证明：∵BE切⊙O于点B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．青果学院
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F
∵AB=AC，∴
AB
=
AC
；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵
AB
BC
=
5
4
∴
AB
2BF
=
5
4
∴
AB
BF
=
5
2
；
设AB=
5
m，BF=2m，
由勾股定理，得AF=
AB2-BF2
=
5m2-4m2
=m；
∴tan∠ABE=tan∠ABF=
AF
BF
=
m
2m
=
1
2
．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴
EA
EB
=
AB
BC
；
∵
AB
BC
=
5
4
，
∴EB=
4
5
EA（※）；
由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）；
将（※）式代入上式，得
16
5
EA2=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC=
11
5
EA=
11
5
×
20
11
=4．
（1）证明：∵BE切⊙O于点B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．青果学院
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F
∵AB=AC，∴
AB
=
AC
；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵
AB
BC
=
5
4
∴
AB
2BF
=
5
4
∴
AB
BF
=
5
2
；
设AB=
5
m，BF=2m，
由勾股定理，得AF=
AB2-BF2
=
5m2-4m2
=m；
∴tan∠ABE=tan∠ABF=
AF
BF
=
m
2m
=
1
2
．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴
EA
EB
=
AB
BC
；
∵
AB
BC
=
5
4
，
∴EB=
4
5
EA（※）；
由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）；
将（※）式代入上式，得
16
5
EA2=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC=
11
5
EA=
11
5
×
20
11
=4．
考点梳理
切割线定理；勾股定理；解直角三角形．
（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题．
（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF=
AF
BF
，转化为求AF的问题．
②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长．
本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．
几何综合题；压轴题．
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