试题

题目：
（2008·无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，青果学院A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：
（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．
答案
青果学院解：（1）过C作CD⊥x轴于D．
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴OD=OCcos60°=
1+t
2
，DC=OCsin60°=
3
(1+t)
2
．
∴点C的坐标为(
1+t
2
，
3
(1+t)
2
)．

（2）①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC．
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3·
3
2
，
∴t=
3
3
2
-1．青果学院

②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=OP．
过P作PE⊥OC于E，则OE=
1
2
OC．
∴
1+t
2
=OPcos30°=
3
3
2
，
∴t=3
3
-1．

③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF⊥OC．青果学院
∴FG=CD=
3
(1+t)
2
，
∴PC=PF=OPsin30°+
3
(1+t)
2
．
过C作CH⊥y轴于H，则PH2+CH2=PC2．
∴(
1+t
2
)2+(
3
(1+t)
2
-3)2=(
3
2
+
3
(1+t)
2
)2，
化简，得（t+1）2-18
3
（t+1）+27=0，
解得t+1=9
3
±6
6
．
∵t=9
3
-6
6
-1＜0，
∴t=9
3
+6
6
-1．
∴所求t的值是
3
3
2
-1，3
3
-1和9
3
+6
6
-1．
青果学院解：（1）过C作CD⊥x轴于D．
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴OD=OCcos60°=
1+t
2
，DC=OCsin60°=
3
(1+t)
2
．
∴点C的坐标为(
1+t
2
，
3
(1+t)
2
)．

（2）①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC．
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3·
3
2
，
∴t=
3
3
2
-1．青果学院

②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=OP．
过P作PE⊥OC于E，则OE=
1
2
OC．
∴
1+t
2
=OPcos30°=
3
3
2
，
∴t=3
3
-1．

③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF⊥OC．青果学院
∴FG=CD=
3
(1+t)
2
，
∴PC=PF=OPsin30°+
3
(1+t)
2
．
过C作CH⊥y轴于H，则PH2+CH2=PC2．
∴(
1+t
2
)2+(
3
(1+t)
2
-3)2=(
3
2
+
3
(1+t)
2
)2，
化简，得（t+1）2-18
3
（t+1）+27=0，
解得t+1=9
3
±6
6
．
∵t=9
3
-6
6
-1＜0，
∴t=9
3
+6
6
-1．
∴所求t的值是
3
3
2
-1，3
3
-1和9
3
+6
6
-1．
考点梳理
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形．
（1）过C向x轴引垂线，利用三角函数求出相应的横纵坐标；
（2）⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分情况探讨．
四边形所在的直线和圆相切，那么与各边都有可能相切；
注意特殊三角函数以及勾股定理的应用．
综合题；压轴题．
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