试题

（2013·燕山区一模）如图，四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，∠C=60°，AD=

3

，E为DC中点，AE∥BC．求BC的长和四边形ABCD的面积．

解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠B=90°，
∴AB∥EF，
∵AE∥BC，∠B=90°，
∴四边形 ABCD是矩形．
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠C=60°．
在Rt△ADE中，∠ADC=90°，AD=

3

，
∴DE=

AD

tan60°

=

3

3

=1，AE=

AD

sin60°

=2，
又∵E为DC中点，
∴CE=DE=1，
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，∠C=60°，
则CF=CE·cos 60°=

1

2

，EF=CE·sin 60°=

3

2

，
∴BC=BF+CF=AE+CF=2+

1

2

=

5

2

，
∴四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形ABCE
=

1

2

AD·DE+

1

2

（AE+BC）·EF
=

1

2

×

3

×1+

1

2

×（2+

5

2

）×

3

2

=

13 3

8

．
解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠B=90°，
∴AB∥EF，
∵AE∥BC，∠B=90°，
∴四边形 ABCD是矩形．
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠C=60°．
在Rt△ADE中，∠ADC=90°，AD=

3

，
∴DE=

AD

tan60°

=

3

3

=1，AE=

AD

sin60°

=2，
又∵E为DC中点，
∴CE=DE=1，
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，∠C=60°，
则CF=CE·cos 60°=

1

2

，EF=CE·sin 60°=

3

2

，
∴BC=BF+CF=AE+CF=2+

1

2

=

5

2

，
∴四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=S_△ADE+S_梯形ABCE
=

1

2

AD·DE+

1

2

（AE+BC）·EF
=

1

2

×

3

×1+

1

2

×（2+

5

2

）×

3

2

=

13 3

8

．