试题

（1998·北京）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，求△ABD的面积．

解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，
又∵DE：AE=1；5，
∴设DE=x，则AE=5x，
由勾股定理，AD²=AE²+ED²=（5x）²+x²=26x²，
∴AD=

26

x．
在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°．
由勾股定理，AC²+DC²=AD²=26x²，
∴AC=DC=

13

x．
在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3，
由勾股定BD²=ED²+BE²=x²+3²=x²+9，
∴BD=

x2+9

．
在Rt△BED和Rt△BCA中，
∵∠B是公共角，
∠BED=∠BCA=90°，
∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x．
∴

ED

AC

=

BD

BA

．
即

x

13 x

=

x2+9

3+5x

．
解关于x的方程3+5x=

13

·

x2+9

，
两边平方得：（3+5x）²=13·（x²+9），
化简得：2x²+5x-18=0，
即（x-1）（2x+9）=0，
∴x₁=2 x₂=-

9

2

．
∵x=ED＞0，
∴x=ED=2，AE=5x=10．
∴AB=AE+BE=10+3=13．
∴S_△ABD=

1

2

ED·AB=

1

2

×2×13=13．
解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，
又∵DE：AE=1；5，
∴设DE=x，则AE=5x，
由勾股定理，AD²=AE²+ED²=（5x）²+x²=26x²，
∴AD=

26

x．
在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°．
由勾股定理，AC²+DC²=AD²=26x²，
∴AC=DC=

13

x．
在Rt△BED中，∵ED=x，BE=3，
由勾股定BD²=ED²+BE²=x²+3²=x²+9，
∴BD=

x2+9

．
在Rt△BED和Rt△BCA中，
∵∠B是公共角，
∠BED=∠BCA=90°，
∴△BED∽△BCA，而AB=3+5x．
∴

ED

AC

=

BD

BA

．
即

x

13 x

=

x2+9

3+5x

．
解关于x的方程3+5x=

13

·

x2+9

，
两边平方得：（3+5x）²=13·（x²+9），
化简得：2x²+5x-18=0，
即（x-1）（2x+9）=0，
∴x₁=2 x₂=-

9

2

．
∵x=ED＞0，
∴x=ED=2，AE=5x=10．
∴AB=AE+BE=10+3=13．
∴S_△ABD=

1

2

ED·AB=

1

2

×2×13=13．