试题

题目：
（1999·哈尔滨）已知△ABC的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个正整数根之一，求sinA的值．
答案
青果学院解：设xl，x2是关于x的方程x2-4x+m=0的两个正整数根，∴x1+x2=4．
∴x1=1，x2=3或x1=x2=2或x1=3，x2=1．（2分）
∴b只能取l、2、3．（2分）
由三角形三边关系定理，得
2＜b＜8，
∴b=3．（1分）
过C作CD⊥AB，垂足为D
∵AC=BC=3，
∴AD=
1
2
AB=
5
2
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=
AC2-AD2
=
11
2
（1分）
∴sinA=
CD
AC
=
11
2
3
=
11
6
（1分）
青果学院解：设xl，x2是关于x的方程x2-4x+m=0的两个正整数根，∴x1+x2=4．
∴x1=1，x2=3或x1=x2=2或x1=3，x2=1．（2分）
∴b只能取l、2、3．（2分）
由三角形三边关系定理，得
2＜b＜8，
∴b=3．（1分）
过C作CD⊥AB，垂足为D
∵AC=BC=3，
∴AD=
1
2
AB=
5
2
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=
AC2-AD2
=
11
2
（1分）
∴sinA=
CD
AC
=
11
2
3
=
11
6
（1分）
考点梳理
解直角三角形；根与系数的关系；三角形三边关系．
根据根与系数的关系，两根之和等于4，由两个根是正整数，分情况讨论，再由三角形的三边关系定理，确定b的值，从而求sinA的值．
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，三角形的三边关系定理和三角函数，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．
分类讨论．
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