试题

（2000·西城区）已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P做BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．

（1）当点P在线段AB上时（如图）．求证：PA·PB=PE·PF；
（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB=4

2

，cos∠EBA=

1

3

，求⊙O的半径．

（1）证明：∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA·PB=PE·PF；

（2）解：当P为BA延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立（如图）
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA=∠C，
∠PFA=∠PBE，
又∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PF

PB

=

PA

PE

，
∴PA·PB=PE·PF；

（3）解法一：作直径AH，连接BH
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴cos∠AHB=

1

3

，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB为锐角，
∴sin∠AHB=

2 2

3

．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=

AB

AH

，AB=4

2

，
∴AH=

AB

sin∠AHB

=6，
∴⊙O半径为3；

解法二：作直径BH，连接AH（如图）．
∴∠BAH=90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBH=90°，
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴sin∠ABH=

1

3

=

AH

BH

，
设AH=x，则BH=3x，
在Rt△ABH中，AB=4

2

，
由勾股定理，AB²+AH²=BH²，
∴（4

2

）²+x²=（3x）²
解得x₁=2，x₂=-2（负值舍去）
∴BH=6，
∴⊙O半径为3．
（1）证明：∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA·PB=PE·PF；

（2）解：当P为BA延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立（如图）
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA=∠C，
∠PFA=∠PBE，
又∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PF

PB

=

PA

PE

，
∴PA·PB=PE·PF；

（3）解法一：作直径AH，连接BH
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴cos∠AHB=

1

3

，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB为锐角，
∴sin∠AHB=

2 2

3

．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=

AB

AH

，AB=4

2

，
∴AH=

AB

sin∠AHB

=6，
∴⊙O半径为3；

解法二：作直径BH，连接AH（如图）．
∴∠BAH=90°，
∵BT切⊙O于点B，
∴∠EBH=90°，
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴sin∠ABH=

1

3

=

AH

BH

，
设AH=x，则BH=3x，
在Rt△ABH中，AB=4

2

，
由勾股定理，AB²+AH²=BH²，
∴（4

2

）²+x²=（3x）²
解得x₁=2，x₂=-2（负值舍去）
∴BH=6，
∴⊙O半径为3．