试题

（2001·陕西）如图⊙O₁、⊙O₂点外切于点A，外公切线BC与⊙O₁切于点B，与⊙O₂切于点C，与O₂O₁的延长线交于点P，已知∠P=30度．
（1）求⊙O₁与⊙O₂半径的比；
（2）若⊙O₁半径为2m，求弧AB、弧AC及外公切线BC所围成的图形（阴影部分）的面积．

解：（1）连接O₁B，O₂C，
∠P=30°，
∴PO₁=2r，PO₂=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO₁B=120°，
∴弧AB=

120π×2

180

=

4π

3

，弧AC=

60π×6

180

=2π；
利用勾股定理可知：BP=

16-4

=2

3

，PC=

144-36

=6

3

，∴BC=4

3

；
S_阴影=S_梯形O1O2CB-S_扇形O1AB-S_扇形O2AC=（2+6）×4

3

÷2-

4π

3

-6π=16

3

-

22π

3

．
解：（1）连接O₁B，O₂C，
∠P=30°，
∴PO₁=2r，PO₂=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO₁B=120°，
∴弧AB=

120π×2

180

=

4π

3

，弧AC=

60π×6

180

=2π；
利用勾股定理可知：BP=

16-4

=2

3

，PC=

144-36

=6

3

，∴BC=4

3

；
S_阴影=S_梯形O1O2CB-S_扇形O1AB-S_扇形O2AC=（2+6）×4

3

÷2-

4π

3

-6π=16

3

-

22π

3

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