题目:

(2013·荆门模拟)如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,且PC
2=PA·PB.求证:
(1)PC是⊙O的切线;
(2)若sin∠ACB=
,求弦AB的长;
(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连接CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长.
答案

(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵PC
2=PA·PB,
∴
=.
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.

∴PC是⊙O的切线.
(2)解:连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
=
4.
(3)解:连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,

∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC
2=PA·PB,
∴9PA
2=PA·PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=
4.
∴PA=
.
∴PC=PE=
.
AE=
,AB=
4,AF=
2,EF=
在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE·EB=DE·CE,
∴CE=5.

(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵PC
2=PA·PB,
∴
=.
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.

∴PC是⊙O的切线.
(2)解:连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
=
4.
(3)解:连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,

∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC
2=PA·PB,
∴9PA
2=PA·PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=
4.
∴PA=
.
∴PC=PE=
.
AE=
,AB=
4,AF=
2,EF=
在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE·EB=DE·CE,
∴CE=5.