试题

题目:
青果学院(2013·荆门模拟)如图,点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点,且PC2=PA·PB.求证:
(1)PC是⊙O的切线;
(2)若sin∠ACB=
5
3
,求弦AB的长;
(3)已知在(2)的条件下,点D是劣弧AB的中点,连接CD交AB于E,若AC:BC=1:3,求CE的长.
答案
青果学院(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵PC2=PA·PB,
PC
PA
=
PB
PC

∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.青果学院
∴PC是⊙O的切线.

(2)解:连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
5
3
=4
5


(3)解:连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,青果学院
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC2=PA·PB,
∴9PA2=PA·PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=4
5

∴PA=
5
2

∴PC=PE=
3
5
2

AE=
5
,AB=4
5
,AF=2
5
,EF=
5

在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE·EB=DE·CE,
∴CE=5.
青果学院(1)证明:连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵PC2=PA·PB,
PC
PA
=
PB
PC

∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,∠PCA=∠B.
∵∠B=∠M,
∴∠M=∠PCA.
∵CM是直径,
∴∠MAC=90°.
∴∠ACM+∠M=90°.
∴∠ACM+∠PCA=90°.
即∠PCM=90°.
∴CM⊥PC.青果学院
∴PC是⊙O的切线.

(2)解:连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,
∵AN是直径,
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB,AN=12.
在Rt△ABN中,AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×
5
3
=4
5


(3)解:连接OD交AB于F,
∴OD⊥AB.
∵D是劣弧AB的中点,青果学院
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCA=∠B,
∴∠PCE=∠PEC.
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA.
∵PC2=PA·PB,
∴9PA2=PA·PB.
∴9PA=PB=PA+AB.
∴8PA=AB=4
5

∴PA=
5
2

∴PC=PE=
3
5
2

AE=
5
,AB=4
5
,AF=2
5
,EF=
5

在Rt△OAF中,可求得OF=4,
∴DF=OD-OF=6-4=2,
∴DE=3.
∵AE·EB=DE·CE,
∴CE=5.
考点梳理
切线的判定;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
(1)连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到△PAC∽△PCB,从而得到∠PCA=∠B,再根据角之间的关系可得到CM⊥PC即PC是⊙O的切线;
(2)连接AO,并延长AO交⊙O于N,连接BN,根据同弧所对角相等得到∠N=∠ACB,已知AN的长及sin∠ACB的值,根据三角函数公式即可求得AB的长;
(3)连接OD交AB于F,由已知可推出△PCA∽△PBC,根据对应边的相似比相等可求得PA,PC的长,再根据勾股定理求得OF的长,那么再求CE的长就不难了.
此题主要考查学生对切线的判定,解直角三角形及相似三角形的判定等知识点的综合运用.
综合题.
找相似题