试题

题目：
青果学院（2013·门头沟区二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，BC⊥AC，AC与BD交于点E，AD=6，CE=
4
7
3
，tan∠BEC=
7
3
3
，求BC、DE的长及四边形ABCD的面积．
答案
青果学院解：如图，过点D作DF⊥AC于F．
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30°．
∵BC⊥AC，
∴∠AFD=∠ACB=90°．
∴DF=
1
2
AD=
1
2
×6=3，
BC=CE·tan∠BEC=
4
7
3
×
7
3
3
=4．
∴EF=
DF
tan∠DEF
=
DF
tan∠BEC
=3÷
7
3
3
=
3
7
3
．AC=
BC
tan∠BAC
=
4
tan30°
=4÷
3
3
=4
3
．
∴DE=
DF2+EF2
=
32+(
3
7
3
)2
=
6
7
13
．
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB
=
1
2
AC·DF+
1
2
AC·BC=
1
2
×4
3
×3+
1
2
×4
3
×4=14
3
．
青果学院解：如图，过点D作DF⊥AC于F．
∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30°．
∵BC⊥AC，
∴∠AFD=∠ACB=90°．
∴DF=
1
2
AD=
1
2
×6=3，
BC=CE·tan∠BEC=
4
7
3
×
7
3
3
=4．
∴EF=
DF
tan∠DEF
=
DF
tan∠BEC
=3÷
7
3
3
=
3
7
3
．AC=
BC
tan∠BAC
=
4
tan30°
=4÷
3
3
=4
3
．
∴DE=
DF2+EF2
=
32+(
3
7
3
)2
=
6
7
13
．
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB
=
1
2
AC·DF+
1
2
AC·BC=
1
2
×4
3
×3+
1
2
×4
3
×4=14
3
．
考点梳理
解直角三角形；勾股定理．
过点D作DF⊥AC于F，构造Rt△ADF，然后利用三角函数求出EF、AC、DE的长，再计算出S△ACD和S△ACB
，即为S四边形ABCD．
本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
计算题．
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