试题

题目：
（2013·上海模拟）如图，C在射线BM上，在平行四边形ABCD中，AC=BD=10，tan∠CAD=
3
4
，对角线AC与BD相交于O点．在射线BM上截取一点E，使OC=CE，连接OE，与边CD相交于点F．
（1）求CF的长；
（2）在没有“OC=CE”的条件下，连接DE、AE，AE与对角线BD相交于P点，若△ADE为等腰三角形，请求出DP的长．青果学院
答案
解：（1）∵ABCD为平行四边形且AC=BD，
∴ABCD为矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=
CD 
AD
=
3
4
，
设CD=3k，AD=4k，
∴（3k）2+（4k）2=102，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）当E点在BC的延长线上时，
过O作OG⊥BC于G，
∴
OG
CD
=
BO
BD
=
1
2
，
∴OG=3
同理可得：
BG
GC
=
BO
OD
=
1
1
，即BG=GC=4，
又∵OC=CE=
1
2
AC=5，
∴
CF
OG
=
CE
EG
，
∴
CF
3
=
5
5+4

解得CF=
5
3
，
（Ⅱ）当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，舍去．

（2）若△ADE为等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延长线上），
由勾股定理可得：CE=
DE2-DC2
=
82-62
=2
7
，
∵AD∥BE，
∴
BE
AD
=
BP
PD
=
8+2
7
8
=
4+
7
4
，
设PD=4a，则BP=4a+
7
a，
∴BP+PD=BD=10=4a+
7
a+4a，
解得a=
10(8-
7
)
57
，
∴PD=4a=
40(8-
7
)
57
=
320-40
7
57
，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于边BC），
同理可得：
BP
PD
=
BE
AD
=
8-2
7
8
=
4-
7
4
，
∴BP+PD=BD=10=4a-
7
a+4a，
解得a=
10(8+
7
)
57
，
∴PD=4a=
40(8+
7
)
57
=
320+40
7
57
，
（Ⅲ）AE=ED，
易证：△AEB≌△DEC，
∴BE=EC=
1
2
BC=4，
∴同理可得：
BP
BD
=
1
3
，则
BP
10
=
1
3
，
∴BP=
10
3
，PD=
20
3
，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴BE=
82-62
=2
7

∴同理可得：
BE
AD
= 
7
4
=
BP
PD
，
4a+
7
a=10
a=
10(4-
7
)
9

∴PD=4a=
160-40
7
9
，
∴综上所述，若△ADE为等腰三角形，PD=
320-40
7
57
或
320+40
7
57
或
20
3
或
160-40
7
9
．青果学院青果学院青果学院青果学院青果学院
解：（1）∵ABCD为平行四边形且AC=BD，
∴ABCD为矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=
CD 
AD
=
3
4
，
设CD=3k，AD=4k，
∴（3k）2+（4k）2=102，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）当E点在BC的延长线上时，
过O作OG⊥BC于G，
∴
OG
CD
=
BO
BD
=
1
2
，
∴OG=3
同理可得：
BG
GC
=
BO
OD
=
1
1
，即BG=GC=4，
又∵OC=CE=
1
2
AC=5，
∴
CF
OG
=
CE
EG
，
∴
CF
3
=
5
5+4

解得CF=
5
3
，
（Ⅱ）当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，舍去．

（2）若△ADE为等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延长线上），
由勾股定理可得：CE=
DE2-DC2
=
82-62
=2
7
，
∵AD∥BE，
∴
BE
AD
=
BP
PD
=
8+2
7
8
=
4+
7
4
，
设PD=4a，则BP=4a+
7
a，
∴BP+PD=BD=10=4a+
7
a+4a，
解得a=
10(8-
7
)
57
，
∴PD=4a=
40(8-
7
)
57
=
320-40
7
57
，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于边BC），
同理可得：
BP
PD
=
BE
AD
=
8-2
7
8
=
4-
7
4
，
∴BP+PD=BD=10=4a-
7
a+4a，
解得a=
10(8+
7
)
57
，
∴PD=4a=
40(8+
7
)
57
=
320+40
7
57
，
（Ⅲ）AE=ED，
易证：△AEB≌△DEC，
∴BE=EC=
1
2
BC=4，
∴同理可得：
BP
BD
=
1
3
，则
BP
10
=
1
3
，
∴BP=
10
3
，PD=
20
3
，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴BE=
82-62
=2
7

∴同理可得：
BE
AD
= 
7
4
=
BP
PD
，
4a+
7
a=10
a=
10(4-
7
)
9

∴PD=4a=
160-40
7
9
，
∴综上所述，若△ADE为等腰三角形，PD=
320-40
7
57
或
320+40
7
57
或
20
3
或
160-40
7
9
．青果学院青果学院青果学院青果学院青果学院
考点梳理
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形．
（1）根据已知条件求得CD=6，讨论当E点在BC的延长线上时，CF的长，以及当E点在边BC上时，易证F在CD的延长线上，与题意不符，
（2）根据题意分情况进行解答，①交于BC的延长线上，②交于边BC，即可得出DP的长．
本题主要考查了平行线分线断成比例，全等三角形的判定，勾股定理以及矩形的判定与性质，比较综合，难度适中．
应用题．
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