试题

（2013·深圳二模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）若EF=6，求梯形ABCD的面积．

解：（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，
∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB-∠EAD=75°，
∴∠FAE=∠BAE，
又∵AD=AB，
∴AB=AF，
在△FAE和△BAE中，

FA=BA ∠FAE=∠BAE=75° AE=AE

，
∴△FAE≌△BAE（SAS），
∴EF=EB；
（2）在△FAE和△FDE中，

FD=FA FE=FE DE=AE

，
∴△FAE≌△FDE（SSS），
∴∠DFE=∠AFE=

1

2

×60°=30°，∠DEF=∠AEF=

1

2

×150°=75°，
又∵∠FAE=60°+15°=75°，
∴∠AEF=∠FAE，
又∵EF=6，
∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，
过C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，
∵tan∠ABC=

CM

BM

，∠ABC=60°，
∴BM=

CM

tan60°

=

6

3

=2

3

，
∴CD=AM=AB-BM=6-2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×[（6-2

3

）+6]×6=36-6

3

．
解：（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，
∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB-∠EAD=75°，
∴∠FAE=∠BAE，
又∵AD=AB，
∴AB=AF，
在△FAE和△BAE中，

FA=BA ∠FAE=∠BAE=75° AE=AE

，
∴△FAE≌△BAE（SAS），
∴EF=EB；
（2）在△FAE和△FDE中，

FD=FA FE=FE DE=AE

，
∴△FAE≌△FDE（SSS），
∴∠DFE=∠AFE=

1

2

×60°=30°，∠DEF=∠AEF=

1

2

×150°=75°，
又∵∠FAE=60°+15°=75°，
∴∠AEF=∠FAE，
又∵EF=6，
∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，
过C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，
∵tan∠ABC=

CM

BM

，∠ABC=60°，
∴BM=

CM

tan60°

=

6

3

=2

3

，
∴CD=AM=AB-BM=6-2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×[（6-2

3

）+6]×6=36-6

3

．