试题

（2013·石景山区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：点E为BC中点；
（2）若tan∠EDC=

5

2

，AD=5，求DE的长．

解：（1）连结OD，BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，
∴BC是⊙O切线，
∵DE是⊙O切线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴BE=CE；

（2）∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，
∴∠C=∠ABD=∠EDC，sinC=

5

3

，
∴cosC=

1-sin2C

=

2

3

，tanC=

5

2

，
Rt△ABD中，DB=

AD

tan∠ABD

=5×

2

5

，
Rt△BDC中，BC=

BD

sinC

=5×

2

5

×

3

5

=6，
又点E为BC中点，
∴DE=

1

2

BC=3．
解：（1）连结OD，BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，
∴BC是⊙O切线，
∵DE是⊙O切线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴BE=CE；

（2）∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，
∴∠C=∠ABD=∠EDC，sinC=

5

3

，
∴cosC=

1-sin2C

=

2

3

，tanC=

5

2

，
Rt△ABD中，DB=

AD

tan∠ABD

=5×

2

5

，
Rt△BDC中，BC=

BD

sinC

=5×

2

5

×

3

5

=6，
又点E为BC中点，
∴DE=

1

2

BC=3．