试题

（2009·乌鲁木齐）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线．（5分）

（2）解：连接AM．
∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM·sin∠AMN=AC·sin30°·sin30°=

1

2

．
∴MN=AM·cos∠AMN=AC·sin30°·cos30°=

3

2

．  （8分）
∴S_梯形ANMO=

(AN+OM)·MN

2

=

3 3

8

，
S_扇形OAM=

60π·12

360

=

π

6

，
∴S_阴影=

9 3 -4π

24

=

3 3

8

-

π

6

．    （11分）
（1）证明：连接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线．（5分）

（2）解：连接AM．
∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM·sin∠AMN=AC·sin30°·sin30°=

1

2

．
∴MN=AM·cos∠AMN=AC·sin30°·cos30°=

3

2

．  （8分）
∴S_梯形ANMO=

(AN+OM)·MN

2

=

3 3

8

，
S_扇形OAM=

60π·12

360

=

π

6

，
∴S_阴影=

9 3 -4π

24

=

3 3

8

-

π

6

．    （11分）