试题

题目：
（2009·资阳）如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C，连接BC，作CD⊥BC青果学院，交AY于点D．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一点，AP=4，且sinA=
3
5
，
①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
②当点D与点P不重合时，试求PD的长（用R表示）．
答案
（1）证明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=
3
5
，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=
OB
sinA
=
R
3
5
=
5
3
R，AB=
(
5
3
R)2-R2
=
4
3
R．
∴AC=
5
3
R+R=
8
3
R．
由（1）已证，△ABC∽△ACD，
∴
AC
AB
=
AD
AC
．
∴
8
3
R
4
3
R
=
AD
8
3
R
．
因此AD=
16
3
R．
①当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴
16
3
R=4．
∴R=
3
4
．
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
（i）若点D在线段AP上（即0＜R＜
3
4
），PD=AP-AD=4-
16
3
R，
（ii）若点D在射线PY上（即R＞
3
4
），PD=AD-AP=
16
3
R-4，
综上，当点D在线段AP上（即0＜R＜
3
4
）时，PD=4-
16
3
R，
当点D在射线PY上（即R＞
3
4
）时，PD=
16
3
R-4，
又当点D与点P重合（即R=
3
4
）时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|
16
3
R-4|（R＞0）．
（1）证明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=
3
5
，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=
OB
sinA
=
R
3
5
=
5
3
R，AB=
(
5
3
R)2-R2
=
4
3
R．
∴AC=
5
3
R+R=
8
3
R．
由（1）已证，△ABC∽△ACD，
∴
AC
AB
=
AD
AC
．
∴
8
3
R
4
3
R
=
AD
8
3
R
．
因此AD=
16
3
R．
①当点D与点P重合时，AD=AP=4，
∴
16
3
R=4．
∴R=
3
4
．
②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：
（i）若点D在线段AP上（即0＜R＜
3
4
），PD=AP-AD=4-
16
3
R，
（ii）若点D在射线PY上（即R＞
3
4
），PD=AD-AP=
16
3
R-4，
综上，当点D在线段AP上（即0＜R＜
3
4
）时，PD=4-
16
3
R，
当点D在射线PY上（即R＞
3
4
）时，PD=
16
3
R-4，
又当点D与点P重合（即R=
3
4
）时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|
16
3
R-4|（R＞0）．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）根据切线的性质得到∠ABO=90°，易证∠ABC=∠ACD，从而根据两个角对应相等得到两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形得到对应边的比相等，再结合锐角三角函数的概念，把AD用R表示，①根据AD=AP求得R的值；②应分两种情况讨论，点D可能在点P的左侧或右侧．
此题要能够熟练运用切线的性质定理、相似三角形的性质和判定．
证明题；动点型．
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