试题

题目：
青果学院（2010·枣庄）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．
答案
（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA．

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在直角△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
102-62
=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
在直角△DFE中，DE=
DF2+EF2
=
62+22
=2
10
，
∴sin∠EDF=
EF
DE
=
2
2
10
=
10
10
．
（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA．

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在直角△ADF中，AF=
AD2-DF2
=
102-62
=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
在直角△DFE中，DE=
DF2+EF2
=
62+22
=2
10
，
∴sin∠EDF=
EF
DE
=
2
2
10
=
10
10
．
考点梳理
矩形的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形．
（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；
运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
综合题．
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