试题

（2011·安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=

1

3

，求DE的长．

（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=

1

3

，
∵cosB=

BD

BC

=

1

3

，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

．
（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=

1

3

，
∵cosB=

BD

BC

=

1

3

，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

．