试题

（2011·郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．

（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；

（2）解：相等．
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；

（3）解：AB=

BC

sin30°

=

10

1 2

=20，BP=x，则AP=20-x，
PE=xcos30°=

3

2

x，PF=（20-x）·

1

2

，
S_△PEM=

1

2

PE×PF，
∴y=

1

2

·

3

2

x·

20-x

2

=

3

8

（20x-x²）
=-

3

8

（x-10）²+

25 3

2

（0≤x≤10）．
∴当x=10时，函数的最大值为

25 3

2

．
（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；

（2）解：相等．
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；

（3）解：AB=

BC

sin30°

=

10

1 2

=20，BP=x，则AP=20-x，
PE=xcos30°=

3

2

x，PF=（20-x）·

1

2

，
S_△PEM=

1

2

PE×PF，
∴y=

1

2

·

3

2

x·

20-x

2

=

3

8

（20x-x²）
=-

3

8

（x-10）²+

25 3

2

（0≤x≤10）．
∴当x=10时，函数的最大值为

25 3

2

．