试题

题目：
青果学院（2011·大连）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）△ABC的形状是
直角三角形
直角三角形
，理由是
直径所对的圆周角是直角
直径所对的圆周角是直角
；
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．
答案
直角三角形

直径所对的圆周角是直角

（1）解：根据圆周角定理，可得，△ABC是直角三角形，因为直径所对的圆周角是直角．

（2）证明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，OA=2，青果学院
∴AB=4，
∴BC=AB·sin60°=4×
3
2
=2
3
，
∴CE=
1
2
BC=
3
．　
故答案为：（1）直角三角形；直径所对的圆周角是直角．（3）CE等于
3
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）△ABC是直角三角形，直径所对的圆周角是直角．
（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可证BC平分∠ABE；
（3）∠A=60°，可得∠ABC=∠CBE=30°，OA=2，所以，BC=2
3
，所以在直角三角形CBE中，CE=
1
2
BC=
3
．
本题考查了直角三角形、切线及圆周角的性质定理，本题综合性较强，熟记且能运用是解答的关键．
几何综合题；压轴题．
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