试题

（2011·甘孜州）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论．

（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，
则四边形ABCM是矩形，
则AM=BC=2，MC=AB=1，
又∵tan∠ADC=2，
∴DM=

2

2

=1，
∴DC=DM+MC=2，
∴DC=BC；

（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，

DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC

，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF为等腰直角三角形．
（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，
则四边形ABCM是矩形，
则AM=BC=2，MC=AB=1，
又∵tan∠ADC=2，
∴DM=

2

2

=1，
∴DC=DM+MC=2，
∴DC=BC；

（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，

DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC

，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF为等腰直角三角形．