试题

（2011·海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

（2）解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB·sin60°=2×

3

2

=

3

，BE=QB·cos60°=2×

1

2

=1，
∵AB=AD=3，
∴PB=AB-AP=3-2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ=

PE2+QE2

=

7

，
∴cos∠BPQ=

PE

PQ

=

2

7

=

2 7

7

．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC，AD∥BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

（2）解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB·sin60°=2×

3

2

=

3

，BE=QB·cos60°=2×

1

2

=1，
∵AB=AD=3，
∴PB=AB-AP=3-2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ=

PE2+QE2

=

7

，
∴cos∠BPQ=

PE

PQ

=

2

7

=

2 7

7

．