试题

题目：
（2011·杭州）在△ABC中，AB=
3
，AC=
2
，BC=1．
（1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
答案
青果学院证明：（1）∵BC2+AC2=1+2=3=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∵sinA=
BC
AB
=
1
3
＞
1
2
=sin30°，
∴∠A≠30°．

（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径=
2
，
∴圆锥的底面圆的周长=2π·
2
=2
2
π；母线长为
3
，
∴几何体的表面积
2
×
3
π+π×（
2
）2=
6
π+2π．
青果学院证明：（1）∵BC2+AC2=1+2=3=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∵sinA=
BC
AB
=
1
3
＞
1
2
=sin30°，
∴∠A≠30°．

（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径=
2
，
∴圆锥的底面圆的周长=2π·
2
=2
2
π；母线长为
3
，
∴几何体的表面积
2
×
3
π+π×（
2
）2=
6
π+2π．
考点梳理
圆锥的计算；勾股定理；解直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，利用三角函数计算出sinA，然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，它的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为母线长，圆锥的侧面积=扇形的面积=
1
2
l·R（l为弧长，R为扇形的半径）；也考查了勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值．
计算题；证明题．
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