试题

题目：
青果学院（2012·怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．
答案
解：∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴EB=AE=CE=12，
∴AC=AE+CE=24，
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=12，AB=AC·cos30°=12
3
，
∵DE⊥AC，AE=CE，
∴AD=DC，
在Rt△ADE中，由勾股定理得 AD=
AE2+DE2
=
122+52
=13，
∴DC=13，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+12
3
．
解：∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴EB=AE=CE=12，
∴AC=AE+CE=24，
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=12，AB=AC·cos30°=12
3
，
∵DE⊥AC，AE=CE，
∴AD=DC，
在Rt△ADE中，由勾股定理得 AD=
AE2+DE2
=
122+52
=13，
∴DC=13，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+12
3
．
考点梳理
解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
根据∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，求出AC，根据Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=12，求出AB=AC·cos30°=12
3
，根据DE⊥AC，AE=CE，得AD=DC，在Rt△ADE中，由勾股定理求出 AD，从而得出DC的长，最后根据四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA即可得出答案．
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．
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