试题

题目：
青果学院（2012·惠安县质检）如图，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=
4
5
，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）当∠PAM为直角时，求线段BP．
答案
青果学院（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，
∴△ABP∽△PCM；

（2）解：设BP=x，作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=5，
∴BD=CD，
∵cosB=
4
5
，
∴
BD
AB
=
4
5
，
∴BD=CD=4，
∴AD=3，
∵∠PAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠PAD=∠C，
又∵∠PAC=∠ADP，
∴△APD∽△CAD，
∴
PD
AD
=
AD
CD
，
即
4-x
3
=
3
4
，
解得：x=
7
4
，即BP=
7
4
．
青果学院（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，
∴△ABP∽△PCM；

（2）解：设BP=x，作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=5，
∴BD=CD，
∵cosB=
4
5
，
∴
BD
AB
=
4
5
，
∴BD=CD=4，
∴AD=3，
∵∠PAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠PAD=∠C，
又∵∠PAC=∠ADP，
∴△APD∽△CAD，
∴
PD
AD
=
AD
CD
，
即
4-x
3
=
3
4
，
解得：x=
7
4
，即BP=
7
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）由AB=AC=5，∠APM=∠B，根据等边对等角易得∠APM=∠B=∠C，继而可得∠BPA=∠CMP，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABP∽△PCM；
（2）首先设BP=x，作AD⊥BC于D．由cosB=
4
5
，易求得BD=CD=4，AD=3，易证得△APD∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段BP的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．
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