试题

（2012·锦州二模）如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，连接OP．
（1）求证：PA=PB；
（2）若⊙O的半径为2，PA=2

3

，求阴影部分面积．

（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
又∵OA=OB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）．
∴PA=PB；
（2）解：由（1）知△PAO≌△PBO，
∴∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP．
在Rt△PAO中，OA=2，PA=2

3

，
tan∠APO=

AO

PA

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠APO=30°，∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
S_阴影=S_{四边形APBO}-S_扇形=2S_△PAO-S_扇形=2×

1

2

×2×2

3

-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．
（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
又∵OA=OB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）．
∴PA=PB；
（2）解：由（1）知△PAO≌△PBO，
∴∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP．
在Rt△PAO中，OA=2，PA=2

3

，
tan∠APO=

AO

PA

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠APO=30°，∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
S_阴影=S_{四边形APBO}-S_扇形=2S_△PAO-S_扇形=2×

1

2

×2×2

3

-

120×π×22

360

=4

3

-

4π

3

．