试题

（2012·密云县二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=

34

，AD=9，AB=15．
求∠B的余弦值及AC的长．

解：如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△AFC中，
∵

AD=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
又∵AD=9，CD=CB=

34

，
∴AF=AD=9，CF=CD=CB=

34

，
∴△CBF是等腰三角形，
又∵CE⊥AB于E，AB=15，
∴EF=EB=

1

2

BF=

1

2

（AB-AF）=3，
在Rt△BEC中，cosB=

BE

BC

=

3

34

=

3 34

34

，
在Rt△BEC中，CB=

34

，BE=3，
由勾股定理得：CE=

CB2-BE2

=5，
在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，
由勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=13，
∴∠B的余弦值为

3 34

34

，AC的长为13．
解：如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△AFC中，
∵

AD=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
又∵AD=9，CD=CB=

34

，
∴AF=AD=9，CF=CD=CB=

34

，
∴△CBF是等腰三角形，
又∵CE⊥AB于E，AB=15，
∴EF=EB=

1

2

BF=

1

2

（AB-AF）=3，
在Rt△BEC中，cosB=

BE

BC

=

3

34

=

3 34

34

，
在Rt△BEC中，CB=

34

，BE=3，
由勾股定理得：CE=

CB2-BE2

=5，
在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，
由勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=13，
∴∠B的余弦值为

3 34

34

，AC的长为13．