试题

（2012·融安县一模）已知：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，点P是AD边上一个动点，PE⊥PC，PE交AB于点E，对应点E也随之在AB上运动，连接EC．
（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的长；
（2）当∠PEC=30°时，求AP的长．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴

PE

CP

=

AP

DC

，（2分）
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）

（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵

PE

CP

=

AP

DC

，
∴

PE

CP

=

7-x

4

，（4分）
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴

CP

PE

=tan30°=

3

3

，
∴

PE

CP

=

3

，
∴

7-x

4

=

3

，
∴x=7-4

3

，
∴AP=4

3

．（5分）
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴

PE

CP

=

AP

DC

，（2分）
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）

（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵

PE

CP

=

AP

DC

，
∴

PE

CP

=

7-x

4

，（4分）
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴

CP

PE

=tan30°=

3

3

，
∴

PE

CP

=

3

，
∴

7-x

4

=

3

，
∴x=7-4

3

，
∴AP=4

3

．（5分）