试题

题目：
青果学院（2012·亭湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）求证：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为
8
2
5
，
2
10
5
或
2
2
8
2
5
，
2
10
5
或
2
2
．
答案
8
2
5
，
2
10
5
或
2
2

青果学院解：（1）在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=
1
2
BC=1，（1分）
∴MB=
12+22
=
5
，（1分）
又CH⊥BM于H，则∠MHC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，（1分）
∴sin∠MCH=
CM
BM
=
5
5
．（1分）

（2）在△MHC中，MH=CM·sin∠MCH=
5
5
．（1分）
∴AM2=MC2=MH·MB，
即
MA
MH
=
MB
MA
，（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，（1分）青果学院
∴∠ABM=∠CAH．（1分）

（3）∵△AMH∽△BMA，
∴
AH
AB
=
AM
BM
，
在Rt△BMC中，BM=
22+12
=
5
，
在Rt△ABC中，AB=
2
AC=2
2
，
∴AH=
AM
BM
×AB=
1
5
×2
2
=
2
10
5
，
∵∠ABM=∠CAH，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠HAD=∠MCH，
①AD为底边时，如图1，AD=2AHcos∠HAD，
∵sin∠MCH=
5
5
，
∴cos∠HAD=
1-sin2∠MCH
=
2
5
5
，
∴AD=2×
2
10
5
×
2
5
5
=
8
2
5
；
②HD为底边时，如图2，AD=AH=
2
10
5
；
③AH为底边时，AD=
1
2
AH÷cos∠HAD=
1
2
×
2
10
5
÷
2
5
5
=
10
5
×
5
2
5
=
2
2
．
故AD的长为：
8
2
5
，
2
10
5
或
2
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
（1）根据已知条件“M是边AC的中点”知AM=MC=1；在直角三角形MBC中利用勾股定理求得MB=
5
，由∠HCB+∠HBC=∠CMH+∠MCH=90°求得∠MCH=∠MBC；所以sin∠MCH=
CM
BM
=
5
5
；
（2）在Rt△MHC中，利用边角关系求得MH的值，再在Rt△CBM中利用射影定理求得
MA
MH
=
MB
MA
；然后根据SAS判定△AMH∽△BMA；最后由相似三角形的对应角相等证明∠ABM=∠CAH；
（3）分三种情况讨论：①AD为底边时，AD的长度；②HD为底边时，AD的长度；③AH为底边时，AD的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及勾股定理的应用．解答（3）题时，注意要分三种情况来求AD的长度，即：①AD为底边时；②AH为底边时；③HD为底边时．以防漏解．
证明题；压轴题；分类讨论．
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