试题

（2012·西城区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长．

（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD．
∴AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G．
∵AB=2AD=4，
∴AD=2．
在Rt△AGD中，∵∠AGD=90°，∠A=60°，AD=2，
∴AG=AD·ADcos60°=1，DG=AD·sin60=°

3

．
∴BG=AB-AG=3．
在Rt△DGB中，∵∠DGB=90°，DG=

3

，BG=3，
∴DB=

DG2+BG2

=

3+9

=2

3

．
（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD．
∴AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G．
∵AB=2AD=4，
∴AD=2．
在Rt△AGD中，∵∠AGD=90°，∠A=60°，AD=2，
∴AG=AD·ADcos60°=1，DG=AD·sin60=°

3

．
∴BG=AB-AG=3．
在Rt△DGB中，∵∠DGB=90°，DG=

3

，BG=3，
∴DB=

DG2+BG2

=

3+9

=2

3

．