试题

（2013·黄冈一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5

5

cm，且tan∠EFC=

3

4

．
（1）△AFB与△FEC有什么关系？试证明你的结论．
（2）求矩形ABCD的周长．

解：（1）△AFB∽△FEC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=

3

4

，
∴在Rt△EFC中，

EC

FC

=

3

4

，
设EC=3xcm，FC=4xcm，
∴EF=

EC2+FC2

=5x（cm），
由折叠的性质可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=

BF

AB

=

3

4

，
∴BF=6xcm，
∴AF=

AB2+BF2

=10x（cm），
∴AE=

AF2+EF2

=5

5

x（cm），
∵AE=5

5

cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周长为：10+10+8+8=36（cm）．
解：（1）△AFB∽△FEC．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△AFB∽△FEC；

（2）∵tan∠EFC=

3

4

，
∴在Rt△EFC中，

EC

FC

=

3

4

，
设EC=3xcm，FC=4xcm，
∴EF=

EC2+FC2

=5x（cm），
由折叠的性质可得：DE=EF=5xcm，
∴AB=CD=DE+CE=8x（cm），
∵∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=

BF

AB

=

3

4

，
∴BF=6xcm，
∴AF=

AB2+BF2

=10x（cm），
∴AE=

AF2+EF2

=5

5

x（cm），
∵AE=5

5

cm，
∴x=1，
∴AD=BC=AF=10x=10（cm），AB=CD=8x=8（cm），
∴矩形ABCD的周长为：10+10+8+8=36（cm）．