试题

题目:
青果学院(2013·嘉定区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC边上,且BC2=CD·CA.
(1)求证:∠A=∠CBD;
(2)当∠A=α,BC=2时,求AD的长(用含α的锐角三角比表示).
答案
解:(1)∵BC2=CD·CA,
BC
CD
=
CA
BC

∵∠ACB=90°,点D在AC边上,
∴∠ACB=∠BCD,
∴△ACB∽△BCD,
∴∠A=∠CBD;
(2)∵∠A=∠CBD,∠A=α,
∴∠CBD=α,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=α,
∵cot∠A=
AC
BC

∴AC=BC·cotα=2·cotα,
在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠CBD=α,BC=2,
∵tan∠CBD=
CD
BC

∴CD=BC·tanα=2tanα,
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα;
解:(1)∵BC2=CD·CA,
BC
CD
=
CA
BC

∵∠ACB=90°,点D在AC边上,
∴∠ACB=∠BCD,
∴△ACB∽△BCD,
∴∠A=∠CBD;
(2)∵∠A=∠CBD,∠A=α,
∴∠CBD=α,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=α,
∵cot∠A=
AC
BC

∴AC=BC·cotα=2·cotα,
在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠CBD=α,BC=2,
∵tan∠CBD=
CD
BC

∴CD=BC·tanα=2tanα,
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα;
考点梳理
相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
(1)根据BC2=CD·CA,∠ACB=∠BCD,得出△ACB∽△BCD,即可证出∠A=∠CBD;
(2)根据∠A=∠CBD,∠A=α,得出∠CBD=α,根据cot∠A=
AC
BC
,得出AC=BC·cotα=2·cotα,再根据tan∠CBD=
CD
BC
,得出CD=BC·tanα=2tanα,即可得出AD=AC-CD=2cotα-2tanα;
此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形,解题的关键是证出△ACB∽△BCD,根据解直角三角形求出AC和CD的值.
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