试题

（2012·潮阳区模拟）阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=

1

2

AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

·

360°

3

=60°，OC=r，∴AC=r·tan60°，AB=2r·tan60°，∴S△OAB=

1

2

·r·2rtan60°=r2tan60°，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²·tan60°．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=．

解：（1）4r²·tan45°；

（2）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OA，OC，OB，如图，
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=

1

2

∠AOB，AB=2AC，
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

·

360°

5

=36°，OC=r，
∴AC=r·tan36°，AB=2r·tan36°，
∴S_△OAB=

1

2

·2r·tan36°·r=r²·tan36°，
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²·tan36°；

（3）nr²·tan

180°

n

．