试题

（2012·成华区一模）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交AB于点G，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，猜想并证明当点O运动到何处时四边形AECF为正方形？此时，如果AE=

2

，AB=4，求sin∠BAE的值．

（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF为正方形．理由如下：
由（1）知，OE=OC=OF，
当OC=OA，即点O为AC的中点时，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，
∴这时四边形AECF是矩形；
又∵∠ACB=90°，MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴矩形AECF是正方形．
∴AE=CE=

2

，∠AEC=90°，
∴AC=2，OA=OE=1．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴sin∠B=

AC

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴∠B=30°，
∴∠AGO=∠B=30°，OG=

3

OA=

3

．
过E作EH⊥AB于H，设EH=x，则GE=2x，
∵GE+OE=OG，
∴2x+1=

3

，
∴x=

3 -1

2

．
在Rt△AHE中，sin∠HAE=

HE

AE

=

3 -1 2

2

=

6 - 2

4

，
∴sin∠BAE=

6 - 2

4

．
（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF为正方形．理由如下：
由（1）知，OE=OC=OF，
当OC=OA，即点O为AC的中点时，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，
∴这时四边形AECF是矩形；
又∵∠ACB=90°，MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴矩形AECF是正方形．
∴AE=CE=

2

，∠AEC=90°，
∴AC=2，OA=OE=1．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴sin∠B=

AC

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴∠B=30°，
∴∠AGO=∠B=30°，OG=

3

OA=

3

．
过E作EH⊥AB于H，设EH=x，则GE=2x，
∵GE+OE=OG，
∴2x+1=

3

，
∴x=

3 -1

2

．
在Rt△AHE中，sin∠HAE=

HE

AE

=

3 -1 2

2

=

6 - 2

4

，
∴sin∠BAE=

6 - 2

4

．