试题

（2012·崇明县三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值．

证明：（1）∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∵CD=

1

2

AB，CD∥AB，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴∠OEF=∠OCD，∠ODC=∠OFE，
在△FOE和△DOC中，
∵

∠OEF=∠OCD EF=CD ∠OFE=ODC

，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；

（2）过点D作DH垂直AB，垂足为H，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴四边形DHBC为矩形，
∵AB=2CD，
∴AH=CD，
在Rt△AHD中
设CD=AH=k，
则DH=AH·tan60°，
∴DH=

3

k，
∴BC=

3

k，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∵AC=

AB2+BC2

=

7

k，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

=

21

7

．
证明：（1）∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∵CD=

1

2

AB，CD∥AB，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴∠OEF=∠OCD，∠ODC=∠OFE，
在△FOE和△DOC中，
∵

∠OEF=∠OCD EF=CD ∠OFE=ODC

，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；

（2）过点D作DH垂直AB，垂足为H，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴四边形DHBC为矩形，
∵AB=2CD，
∴AH=CD，
在Rt△AHD中
设CD=AH=k，
则DH=AH·tan60°，
∴DH=

3

k，
∴BC=

3

k，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∵AC=

AB2+BC2

=

7

k，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

=

21

7

．