试题

（2012·海淀区二模）如图，AC、BC是⊙O的弦，BC∥AO，AO的延长线与过点C的射线交于点D，且∠D=90°-2∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若BC=4，tanD=

1

2

，求CD和AD的长．

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∠DOC为△AOC的外角，
∴∠DOC=2∠A，
∵∠D=90°-2∠A，
∴∠D+∠DOC=90°，
∴∠OCD=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OE⊥BC于E，则∠OEC=90°，
∵BC=4，
∴CE=

1

2

BC=2，
∵BC∥AO，
∴∠OCE=∠DOC，
∵∠COE+∠OCE=90°，∠D+∠DOC=90°，
∴∠COE=∠D，
∵tanD=

1

2

，
∴tan∠COE=

1

2

，
∵∠OEC=90°，CE=2，
∴OE=

CE

tan∠COE

=4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OC=

OE2+CE2

=2

5

，
在Rt△ODC中，由tanD=

OC

CD

=

1

2

，得CD=4

5

，
由勾股定理可得：OD=

OC2+CD2

=10，
则AD=OA+OD=OC+OD=2

5

+10．
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∠DOC为△AOC的外角，
∴∠DOC=2∠A，
∵∠D=90°-2∠A，
∴∠D+∠DOC=90°，
∴∠OCD=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OE⊥BC于E，则∠OEC=90°，
∵BC=4，
∴CE=

1

2

BC=2，
∵BC∥AO，
∴∠OCE=∠DOC，
∵∠COE+∠OCE=90°，∠D+∠DOC=90°，
∴∠COE=∠D，
∵tanD=

1

2

，
∴tan∠COE=

1

2

，
∵∠OEC=90°，CE=2，
∴OE=

CE

tan∠COE

=4，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OC=

OE2+CE2

=2

5

，
在Rt△ODC中，由tanD=

OC

CD

=

1

2

，得CD=4

5

，
由勾股定理可得：OD=

OC2+CD2

=10，
则AD=OA+OD=OC+OD=2

5

+10．