试题

题目：
（2011·莆田）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交青果学院AB、AC于点E、F，且D为
EF
的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=2
3
，∠CAD=30°时．求
AD
的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵
DE
=
DF
，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=
AD
cos∠EAD
=
2
3
3
2
=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴
AD
的长=
120π×2
180
=
4
3
π．
青果学院（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵
DE
=
DF
，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=
AD
cos∠EAD
=
2
3
3
2
=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴
AD
的长=
120π×2
180
=
4
3
π．
考点梳理
切线的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形．
（1）连接OD．欲证明BC与⊙O相切，只要证明BC⊥OD即可；
（2）连接DE，则根据直径所对的圆周角是直角知∠ADE=90°．利用（1）中的OD∥AC、∠OAD=∠ODA可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°；由三角形的内角和定理求得∠AOD=120°；然后在Rt△ADE中根据∠EAD的余弦三角函数的定义求得⊙O的直径AE的长度，从而解得⊙O的半径的长度；最后由弧长的计算公式求解即可．
本题综合考查了解直角三角形、弧长的计算以及切线的判定与性质．在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线：连接圆心O与所求的线段和圆O的交点．
几何综合题．
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