试题

（2011·庆阳）如图，在等腰△ABC中，AC=BC=10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠E=

2

5

，求AB的长．

（1）证明：连接OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠BAC=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：连接BG，
∵BC是⊙O直径，
∴∠BGC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E=∠GBC，
∵sin∠E=

2

5

，
∴sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，
∵BC=10，
∴CG=4，
∴AG=10-4=6，由勾股定理得：BG=

BC2-CG2

=2

21

，
在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB=

BG2+AG2

=

(2 21 )2+62

=2

30

，即AB=2

30

．
（1）证明：连接OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠BAC=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：连接BG，
∵BC是⊙O直径，
∴∠BGC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E=∠GBC，
∵sin∠E=

2

5

，
∴sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，
∵BC=10，
∴CG=4，
∴AG=10-4=6，由勾股定理得：BG=

BC2-CG2

=2

21

，
在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB=

BG2+AG2

=

(2 21 )2+62

=2

30

，即AB=2

30

．