试题

题目：
（2011·无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
青果学院
答案
解：（1）作图如图；
青果学院

（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、
2
、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S=2×
90×1×π
360
+2×
90π×(
2
)2
360
+2×
150π×1
360
+4×
1
2
×12
=
π
2
+π+
5
6
π+2
=
7
3
π+2．
解：（1）作图如图；
青果学院

（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、
2
、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S=2×
90×1×π
360
+2×
90π×(
2
)2
360
+2×
150π×1
360
+4×
1
2
×12
=
π
2
+π+
5
6
π+2
=
7
3
π+2．
考点梳理
扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形．
（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、
2
、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．
本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．
作图题；几何综合题．
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