试题

（2012·德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．
（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求线段AF的长．

解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，
理由是：连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴弧AB=弧AE=弧EC，
∴点A是弧BE的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切． 

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

3

2

，
又∵∠EBC=

1

2

∠EOC=30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
在Rt△FBD中，FD=BD·tan∠EBC=BD·tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
∴AF=AD-DF=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
答：AF的长是

3

3

．
解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，
理由是：连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴弧AB=弧AE=弧EC，
∴点A是弧BE的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切． 

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

3

2

，
又∵∠EBC=

1

2

∠EOC=30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
在Rt△FBD中，FD=BD·tan∠EBC=BD·tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
∴AF=AD-DF=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
答：AF的长是

3

3

．