试题

（2012·甘孜州）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，DE交直径AB于点F．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=2，sin∠ADE=

2

4

，求OA及EF的长．

解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=

AE

AB

=

2

4

，
而AE=2，
∴AB=4

2

，
∴OA=2

2

，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=

2

2

AE=

2

，
∵△AHF∽△DOF，
∴

AH

DO

=

HF

OF

，即

HF

OF

=

2

2 2

，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF=2

2

-2HF，
在Rt△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（

2

）²+HF²=（2

2

-2HF）²，
∴HF=

4 2 - 14

3

或HF=

4 2 + 14

3

（舍去），
∴EF=EH+HF=

2

+

4 2 - 14

3

=

7 2 - 14

3

．
解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=

AE

AB

=

2

4

，
而AE=2，
∴AB=4

2

，
∴OA=2

2

，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=

2

2

AE=

2

，
∵△AHF∽△DOF，
∴

AH

DO

=

HF

OF

，即

HF

OF

=

2

2 2

，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF=2

2

-2HF，
在Rt△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（

2

）²+HF²=（2

2

-2HF）²，
∴HF=

4 2 - 14

3

或HF=

4 2 + 14

3

（舍去），
∴EF=EH+HF=

2

+

4 2 - 14

3

=

7 2 - 14

3

．