试题

题目：
青果学院（2012·河池）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半径．
答案
青果学院（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．        

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，青果学院
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=
CE
CD
，cos30°=
6
CD
，
解得：CD=4
3
，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=4
3
，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=
BD
AB
，cos30°=
4
3
AB
，
解得AB=8，
故⊙O的半径为4．
青果学院（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．        

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，青果学院
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，cos∠C=
CE
CD
，cos30°=
6
CD
，
解得：CD=4
3
，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=4
3
，
∴AC=AB，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中．cos∠B=
BD
AB
，cos30°=
4
3
AB
，
解得AB=8，
故⊙O的半径为4．
考点梳理
切线的判定；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB或圆的半径的值即可．
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
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