试题

（2012·辽阳）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若cos∠BAC=

1

3

，⊙O的半径为6，求线段CD的长．

解：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴D为AC中点，又O是AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，cos∠BAC=

AD

AB

=

1

3

，
∴AD=4，
由（1）知BD是△ABC的中线，
∴CD=AD=4．
解：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴D为AC中点，又O是AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，cos∠BAC=

AD

AB

=

1

3

，
∴AD=4，
由（1）知BD是△ABC的中线，
∴CD=AD=4．