试题

题目：
青果学院（2012·辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直径，过点A做AP∥BC交DB的延长线于点P，连接AD．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，cos∠ABC=
3
4
，求AB的长．
答案
青果学院（1）证明：连接AO，
∵AP∥BC，
∴∠3=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∵∠1=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：由（1）得：∠ABC=∠D，
∵⊙O的半径是2，cos∠ABC=
3
4
，
∴BD=4，cos∠ABC=cosD=
3
4
，
∴
AD
BD
=
3
4
，
解得：AD=3，
∴AB=
BD2-AD2
=
16-9
=
7
．
青果学院（1）证明：连接AO，
∵AP∥BC，
∴∠3=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∵∠1=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：由（1）得：∠ABC=∠D，
∵⊙O的半径是2，cos∠ABC=
3
4
，
∴BD=4，cos∠ABC=cosD=
3
4
，
∴
AD
BD
=
3
4
，
解得：AD=3，
∴AB=
BD2-AD2
=
16-9
=
7
．
考点梳理
切线的判定；解直角三角形．
（1）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理得出∠3=∠1，进而得出∠2+∠3=90°，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出cos∠ABC=cosD=
3
4
，进而得出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长．
此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系和圆周角定理以及切线的判定等知识，正确转化角度得出cos∠ABC=cosD=
3
4
是解题关键．
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