试题

（2012·黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=

4

5

，求AD的长．

证明：（1）连接CO，
∵AB是⊙O直径
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

，
∴CO=

5

2

，
∴⊙O的半径为

5

2

．
∴OD=

OC

tanD

=

25

6

，
AD=

20

3

．
证明：（1）连接CO，
∵AB是⊙O直径
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

，
∴CO=

5

2

，
∴⊙O的半径为

5

2

．
∴OD=

OC

tanD

=

25

6

，
AD=

20

3

．