试题

题目:
青果学院(2012·天水)如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知直径AD=6,∠ABC=120°,∠ACB=45°,连接OB交AC于点E.
(1)求AC的长.
(2)求CE:EA的值.
(3)在CB的延长线上取一点P,使CB=
1
2
BP,求证:直线PA与⊙O相切.
答案
解:(1)∵∠ABC=120°,∴∠D=60°.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°.
∵AD=6,∴AC=AD·sin60°=6×
3
2
=3
3


(2)∵∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB=90°.
∴EA=
OA
cos30°
=2
3
.∴CE=AC-AE=
3

∴CE:EA=
3
:2
3
=1:2.

(3)证明:∵
CB
BP
=
1
2
CE
EA
=
1
2

CB
BP
=
CE
EA

∴BE∥AP.
∵∠AOB=90°,
∴PA⊥OA.
∴直线PA与⊙O相切.
解:(1)∵∠ABC=120°,∴∠D=60°.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°.
∵AD=6,∴AC=AD·sin60°=6×
3
2
=3
3


(2)∵∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB=90°.
∴EA=
OA
cos30°
=2
3
.∴CE=AC-AE=
3

∴CE:EA=
3
:2
3
=1:2.

(3)证明:∵
CB
BP
=
1
2
CE
EA
=
1
2

CB
BP
=
CE
EA

∴BE∥AP.
∵∠AOB=90°,
∴PA⊥OA.
∴直线PA与⊙O相切.
考点梳理
切线的判定;圆周角定理;解直角三角形.
(1)利用圆周角定理和“圆内接四边形的对角互补”的性质推知△ACD是直角三角形,且∠D=60°,所以通过解该直角三角形来求AC的长度即可;
(2)利用圆周角定理推知∠AOB=90°.所以在Rt△AOB中求得EA=2
3
.结合(1)中AC=3
3
即可求得CE的值;
(3)欲证直线PA与⊙O相切,只需证明AD⊥AP即可.
本题综合考查了圆周角定理,切线的判定与性质以及解直角三角形.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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