试题

（2011·保定一模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，CB=6cm．点Q、P分别是AB、CD边上的动点，点P从C点出发，以0.5cm/s的速度向D点移动；点Q从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动；设Q、P同时出发，移动时间为t（s），当一个点停止移动，另一个也随之停止移动．
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，四边形AQPD是等腰梯形？
（3）连接PQ，设PQ与AC的交点为O，求△AOQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系；
（4）过Q点作QE⊥AD于E，问是否存在某一时刻t，使得四边形AQPD是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴AC=12cm，
作PN⊥AB，△DAC是等腰三角形，且∠DCA=30°．
作DF⊥AC于F，则CF=

1

2

AC=6cm．
∴CD=

CF

cos30°

=4

3

cm．

（2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N．作DM⊥AB于M．
则AM=QN=

1

2

AD=2

3

cm．
又∵PD=MN=4

3

-0.5t，AQ=t，
∴2

3

+2

3

+（4

3

-0.5t）=t，
解得：t=

16

3

3

；

（3）∵△AOQ∽△COP，
∴

AO

OC

=

AQ

CP

=

t

0.5t

=

1

2

，
又∵AC=12，
∴AO=8
作OR⊥AB于R，则OR=AO×sin30°=4，
∴s=

1

2

×AQ×OR=

1

2

×t×4=2t；

（4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，且DP=AD．
由4

3

-0.5t=t，得：t=

8 3

3

．
而AD=

BC

sin60°

=

6

3 2

=4

3

，
故t不存在．
解：（1）在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴AC=12cm，
作PN⊥AB，△DAC是等腰三角形，且∠DCA=30°．
作DF⊥AC于F，则CF=

1

2

AC=6cm．
∴CD=

CF

cos30°

=4

3

cm．

（2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N．作DM⊥AB于M．
则AM=QN=

1

2

AD=2

3

cm．
又∵PD=MN=4

3

-0.5t，AQ=t，
∴2

3

+2

3

+（4

3

-0.5t）=t，
解得：t=

16

3

3

；

（3）∵△AOQ∽△COP，
∴

AO

OC

=

AQ

CP

=

t

0.5t

=

1

2

，
又∵AC=12，
∴AO=8
作OR⊥AB于R，则OR=AO×sin30°=4，
∴s=

1

2

×AQ×OR=

1

2

×t×4=2t；

（4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，且DP=AD．
由4

3

-0.5t=t，得：t=

8 3

3

．
而AD=

BC

sin60°

=

6

3 2

=4

3

，
故t不存在．