试题

题目：
（2011·昌平区二模）如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连接BD．
（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当
BP
PC
=
1
1
时，△BDP的面积最大；
（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上何处时，△BDP的面积最大？
青果学院
答案
1

解：（1）1．（2分）
青果学院
（2）如图2，过点D作DE⊥BC于E．（3分）
∴∠DEC=90°．
设PB=x．
∵BC=3，
∴PC=3-x．
∵PD∥AB，
∴
PC
BC
=
DC
AC
．
∴
DC
2
=
3-x
3
．
∴DC=
2(3-x)
3
．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=α，
∴DE=
2(3-x)·sinα
3
．（4分）
∴S△BDP=
1
2
·BP·DE=-
x2·sinα
3
+x·sinα．（5分）
∵α为任意锐角，∴0＜sina＜1．
∴-
sinα
3
＜0．
∴当x=-
sinα
2·(-
sinα
3
)
=
3
2
时，S△BDP有最大值．
即P在BC中点时，△BDP的面积最大．（6分）
考点梳理
平行线分线段成比例；锐角三角函数的增减性；解直角三角形．
（1）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得
PC
BC
=
DC
AC
，则可求得CD的长，P在BC中点时，△BDP的面积最大，故应为
BP
PC
=1；
（2）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得
PC
BC
=
DC
AC
，则可求得CD的长，由在Rt△DEC中，∠DEC=90°，设∠C=α，求得S△BDP=
1
2
·BP·DE=-
x2·sinα
3
+x·sinα．则可求得答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理，二次函数的最值问题，三角函数的应用等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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