试题

题目：
青果学院（2011·大兴区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果⊙O的直径为9，cosB=
1
3
，求DE的长．
答案
青果学院解：（1）答：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，AD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵DE⊥AC，
∴∠EDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即：OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵cos∠B=
BD
AB
=
1
3
，AB=9，
∴BD=CD=3，
在Rt△CDE中，
∵cos∠C=
CE
CD
，
∴CE=CD·cos∠C=3·cos∠B=3×
1
3
=1，
∴DE=
32-12
=2
2
．
青果学院解：（1）答：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，AD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵DE⊥AC，
∴∠EDA+∠CAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即：OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵cos∠B=
BD
AB
=
1
3
，AB=9，
∴BD=CD=3，
在Rt△CDE中，
∵cos∠C=
CE
CD
，
∴CE=CD·cos∠C=3·cos∠B=3×
1
3
=1，
∴DE=
32-12
=2
2
．
考点梳理
切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）先连接OD、AD，由于OD=OA，易知∠ODA=∠OAD，而AB=AC，AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一定理，易证∠ODA=∠CAD，又由于DE⊥AC，那么∠EDA+∠CAD=90°，等量代换有∠EDA+∠ODA=90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）AB是直径，那么∠ADB=90°，在Rt△ADB中，利用cosB=
1
3
，AB=9，易求BD，进而可求CD，再在Rt△CDE中，利用∠C的余弦，可求CE，再利用勾股定理可求DE．
本题考查了等腰三角形三线合一定理、切线的判定和性质、余弦的计算、勾股定理．解题的关键是连接OD，AD，构造等腰三角形和直角三角形，以及求出CE．
计算题；证明题；压轴题．
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