试题

题目：
青果学院（2011·锦江区模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
①求证：AB=AC；
②若tan∠ABE=
1
2

（ⅰ）求
AB
BC
的值．
（ⅱ）求当AC=2时，AE的长．
答案
解：①∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）连接OA．
青果学院∵AB=AC，∴
AB
=
AC
，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=
1
2
，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=
1
2
，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=
AD
BD
=
1
2
，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，根据勾股定理得：AB=
BD2+AD2
=
5
k，
则
AB
BC
=
5
k
4k
=
5
4
；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC=
AD
DC
=
1
2
，
设AD=x，DC=2x，根据勾股定理得：x2+（2x）2=22，
解得：x=
2
5
5
，
∴BC=2DC=4x=
8
5
5
，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴
AE
BE
=
BE
EC
=
AB
BC
=
2
8
5
5
=
5
4
，
∴BE=
4
5
5
AE，
又∵
AE
BE
=
BE
EC
，即BE2=AE·CE，
∴（
4
5
5
AE）2=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：
16
5
AE2=2AE+AE2，
解得：AE=
10
11
．
解：①∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）连接OA．
青果学院∵AB=AC，∴
AB
=
AC
，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=
1
2
，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=
1
2
，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=
AD
BD
=
1
2
，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，根据勾股定理得：AB=
BD2+AD2
=
5
k，
则
AB
BC
=
5
k
4k
=
5
4
；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC=
AD
DC
=
1
2
，
设AD=x，DC=2x，根据勾股定理得：x2+（2x）2=22，
解得：x=
2
5
5
，
∴BC=2DC=4x=
8
5
5
，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴
AE
BE
=
BE
EC
=
AB
BC
=
2
8
5
5
=
5
4
，
∴BE=
4
5
5
AE，
又∵
AE
BE
=
BE
EC
，即BE2=AE·CE，
∴（
4
5
5
AE）2=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：
16
5
AE2=2AE+AE2，
解得：AE=
10
11
．
考点梳理
切线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
①由BE为圆O的切线，BA为圆的弦，即∠EAB为圆弦切角，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角，可得出∠EBA=∠C，根据已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根据等角对等边可得出AB=AC，得证；
②（i）连接OA，由AB=AC，根据等弦对等劣弧得到A为弧BC的中点，根据垂径定理的逆定理得到OA垂直于BC，D为BC的中点，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即为tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数定义得出AD与BD的比值，设AD=k，则有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB与BC的比值；
（ii）在△ADC中，由tanC的值，及锐角三角函数定义，设AD=x，则有CD=2x，由AC=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，再由∠EBA=∠C，以及一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ABE与△BCE相似，由相似得比例，将AB及BC的值代入，用EC表示出BE，再由BE2=AE·CE，由CE=AE+AC，并将AC及表示出的BE代入，得出关于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的长．
此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，弦、圆心角及弧之间的关系，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
计算题；压轴题．
找相似题