试题

题目：
青果学院（2011·南汇区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanA=
3
4
，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE=3，DB=10．
求：（1）DC的长；
（2）∠BCD的余弦值？
答案
解：（1）∵DE⊥AC，DE=3，tanA=
3
4
，
∴AE=4，
∴AD=5．
∵∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
即：
3
BC
=
5
15
，
解得：BC=9．
∵tanA=
BC
AC
=
3
4
，青果学院
∴AC=12，CE=8，
∴CD=
DE2+EC2
=
82+32
=
73
；

（2）作DF∥EC交BC于F点，
∴BF=CE=8，FC=DE=3．
∴cos∠BCD=
CF
CD
=
3
73
=
3
73
73
．
解：（1）∵DE⊥AC，DE=3，tanA=
3
4
，
∴AE=4，
∴AD=5．
∵∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
即：
3
BC
=
5
15
，
解得：BC=9．
∵tanA=
BC
AC
=
3
4
，青果学院
∴AC=12，CE=8，
∴CD=
DE2+EC2
=
82+32
=
73
；

（2）作DF∥EC交BC于F点，
∴BF=CE=8，FC=DE=3．
∴cos∠BCD=
CF
CD
=
3
73
=
3
73
73
．
考点梳理
解直角三角形．
（1）解直角三角形ADE，得出AD，AE的长，利用三角形相似求出CE的长，利用勾股定理求出DC的长．
（2）作DF∥EC交BC于F点，构造直角三角形并利用余弦的定义求解即可．
考查了解直角三角形的应用．注意利用相似三角形求解较为方便．
综合题．
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